VNITŘNÍ ZTRÁTY LOPATKOVÝCH STROJŮ A JEJICH VLIV NA NÁVRH LOPATKOVÉHO STROJE

Základní pojmy pro popis vnitřních ztrát v lopatkových strojích

Vnitřní ztráty L_w na práci jako rozdíl mezi ideální práci a skutečnou prací stroje vznikají vždy při nějaké transformaci nebo přenosu energie v různých částech stroje s různou intenzitou. Kromě profilových ztrát vznikají i další typy vnitřních ztrát, například netěstnostmi, třením o skříň a hřídel apod. Jednotlivé typy ztrát jsou definovány pokud možno tak, aby se při výsledné energetické bilanci stroje daly sečíst a tím získat konečnou velikost vnitřních ztrát podle Vzorce 1. Nicméně mnoho typů ztrát se navzájem více či méně ovlivňují a při konečném vyčíslení je nutné toto brát v úvahu. Výpočet vnitřních ztrát se provádí v rámci jednoho stupně (vnitřní ztráty stupně) nebo celého stroje vnitřní ztráty stroje apod.

1: Vnitřní ztráty

L_w [J·kg^-1] vnitřní ztráty na práci ve vyšetřované části stroje; L_x [J·kg^-1] hodnota individuální ztráty ve vyšetřované části stroje. x-označení vyšetřovaného druhu ztráty.

Poměrná ztráta

Podíl individuální ztráty k ideální práci (disponibilní energie) je poměrná ztráta (Vzorec 2a), ovšem podle typu stroje, ztrát a zvyklostí v daném oboru ji lze definovat i k vnitřní práci (Vzorec 2b) nebo jinému ději.

2: Poměrná ztráta

ξ_x [1] poměrná ztráta individuální ztráty; w_id [J·kg^-1] ideální práce pracovní tekutiny; w_i [J·kg^-1] vnitřní práce pracovní tekutiny.

Výpočet ztrát

Ideální děj

Iterační výpočet

Výpočet ztrát je podmíněn znalostí rozměrů a parametrů vyšetřované části stroje a definicí ideálního děje (stavu). To znamená, že stanovení ztrát probíhá iteračně. Například tak, že na počátku se provede návrh stroje nebo jeho části pro případ proudění beze ztrát, nebo pouze z odhady ztrát, a až po tomto návrhu se provede výpočet skutečných ztrát s případnými změnami v rozměrech a parametrech za účelem snížení ztrát atd. Při výpočtu se vychází nejčastěji z polo-empirických vztahů vyvinutých pro daný typ stroje, numerických výpočtů (modelování) nebo ze schopnosti konstruktéra využít širokých znalostí chování podobných strojů/stupňů k predikci ztráty pro nový doposud neřešený případ.

Nátokový úhel

Délka lopatek vs. Tětiva

Machovo číslo

Velikost ztráty sekundárním prouděním roste například se zvětšujícím se nátokovým úhlem, s klesající rychlostí a s klesajícím poměrem mezi délkou a tětivou lopatek (příčné proudění se projevuje až na konci lopatkového kanálu, takže u delších lopatkových kanálů se příčené proudění projeví více).

Prohnutá lopatka

Nakloněná lopatka

Japikse, 1997

Ke zmenšení ztráty příčným proudění se provádí naklonění lopatek od radiální osy nebo ještě lépe jejich prohnutí (Obrázek 4) [Japikse, 1997, s. 6-13].

4: Prohnutá lopatka (blowed-twisted blade nebo 3D stacks)

Prohnutá lopatka

Axiální stupeň

Eulerova práce

Tvar prohnuté lopatky axiálního stupně, lze navrhnout podle rovnic pro osově symetrické potenciální proudění. To by znamenalo, že obvodová složka rychlosti V_θ by se měnila podle pravidla pro potenciální vír, takže u pat lopatek by byla obvodová složka mnohem vyšší než u špic a tím i rozdíly v gradientech tlaku. Pro dosažení nižších gradientů tlaků se u prohnutých lopatek častěji používá návrh obvodové složky rychlosti podle jiné exponenciální funkce, například danou Vzorcem 5, viz Obrázek 6. Vzorec 5 je výhodný v tom, že Eulerova práce po výšce lopatek je konstantní jako u potenciálního proudění (rovnice potenciálního víru je speciálním případem této rovnice).

5: Vlastnosti axiálního stupně s konstantní Eulerovou prací a exponenciální cirkulací rychlosti

V [m·s^-1] absolutní rychlost; r [m] poloměr; w_E [J·kg^-1] Eulerova práce na vyšetřovaném poloměru; ω [rad·s^-1] úhlová rychlost otáčení kola; a, n [SI] navržené konstanty; b [SI] konstanta (lze vypočítat z navržené Eulerovy práce na ref. poloměr).

Bandáž

Okrajové ztráty pro případ krátkých lopatek mohou být řádově stejné jako pro profilové ztráty, ale jejich poměrná hodnota výrazně klesá s délkou lopatek. Ztrátu radiální mezerou lze snižít použitím bandáží, které úplně zamezují přetákaní přes okraj lopatek.

Krycí disk

Pokud to pevnost oběžného kola dovolí, používá se ke snížení okrajových ztrát na lopatkách radiálních stupňů krycí disk, viz Obrázek 20b.

Ztráty vnitřní netěsností stupně

Bandáž

Mezi rotorovými lopatkami a skříní, respektive mezi statorovými lopatkami a hřídelí musí být jistá radiální mezera δ, a to i v případě použití bandáží, viz Obrázek 9. Především v případě tepelných strojů je tato mezera významná, protože kompenzuje teplotní roztažnost materiálu. Pracovní tekutina, která uniká přes tuto mezeru nekoná práci a představuje tedy ztrátu. Velikost této ztráty závisí na konstrukci stupně a bandáže.

9: Ztráty vnitřní netěsností

(a) nětěsnost u rovnotlakového stupně s rotoru diskové konstrukce a lopatkami s bandážemi; (b) ztráta vnitřní netěsností u stupně bez bandáží. L_m [kg·s^-1] hmotnostní tok netěstnostmi stupně; δ [m] délka radiální mezery; l [m] délka lopatky.

Diskový rotor

Japikse, 1997

Dále je třeba počítat s tím, že proudění netěsnostmi může narušit hlavní proud, protože má vyšší energii. V případě diskových rotorů, se proto netěsnost předchozí řady lopatek odvádí otvorem v disku mimo lopatkové kanály (Obrázek 9a). Netěsnost lopatek bez bandáže obvlivňuje i okrajovou ztrátu, viz Úloha 1. Vztahy pro přibližné stanovení ztráty vnitřní netěsností jsou uvedeny v [Japikse, 1997, s. 6-35] (v češtině [Kadrnožka, 2004, s. 95, 200]).

Ztráta nesprávným nátokovým úhlem

Odtržení proudu

Kadrnožka, 2004

Ztráta nesprávným nátokovým úhlem vzniká při nesprávném směru proudění pracovní tekutiny do lopatkového kanálu. Nátokový úhel je pak příliš velký nebo naopak malý oproti návrhovému stavu, což může vést k odtržení proudu od profilu Obrázek 11. Tato ztráta vzniká, jestliže nátoková hrana lopatek nerespektuje změny obvodové rychlosti a tedy nátokového úhlu – týká se zejména přímých lopatek axiálních stupňů a záběrníků radiálních stupňů. Může také vzniknout u zkroucených lopatek při změně průtoku nebo otáček. Vztahy pro její stanovení jsou uvedeny například v [Kadrnožka, 2004, s. 100]

11: Změna nátokového úhlu přímé lopatky

(a) proudění u paty lopatek; (b) proudění na středním průměru (v jádru lopatkového kanálu); (c) proudění u špice lopatky.

Natáčivé lopatky

Předřazené lopatky

Otáčky

Ztrátu nesprávnými nátokovým úhlem způsobenou změnou průtoku lze kompenzovat natáčením statorových nebo rotorových lopatek, případně u stupňů pracovních strojů předřadit statorové natáčivé lopatky a to i u radiálních stupňů, viz Obrázek 12. Při změně průtoku se předřazené statorové lopatky natočí tak, aby se co nejméně měnil vstupní uhel relativní rychlosti do mříže rotoru, tím se dosáhne co nejmenšího poklesu účinnosti kvůli změně nátkového úhlu. Předřazené lopatky se používají tam, kde nelze měnit otáčky, pakliže lze, tak je výhodnější při snížení průtoku snížit i otáčky a tím také zůstane zachován nátokový úhel.

12: Regulace nátokového úhlu do rotoru radiálního stupně kompresoru pomocí předřazených statorových lopatek

(a) rychlostní trojúhleník na nátokové hraně záběrníku v připadě jmenovitého průtoku; (b) odklon absolutní rychlosti od osového směru pomocí předřazených lopatek, tak aby nátokový úhel β₁ zůstal zachován i při sníženém průtoku. IGV-předřazené statorové lopatky (inlet guide vane). α [°] úhel absolutní rychlosti; β [°] úhel relativní rychlosti rychlosti.

14: Princip návrhu stupně s konstantním měrným hmotnostním tokem

(a) odklon proudnic ve stupni navrženém pro V_a(r)=konst.; (b) princip návrhu stupně s konstantním měrným hmotnostním tokem. v [m³·kg^-1] měrný objem.

Osově symetrického potenciálního proudění

Kuželový stupeň

Stlačitelné proudění

Podmínku konstantního měrného průtoku splňují axiální stupně s konstantním axiální složkou rychlosti automaticky, jestliže pracovní tekutina je nestlačitelná. Čistě axiální stupně, kterými protéká stlačitelná tekutina, navržené na konstantní měrný hmtonostní tok nesplňují podmínky pro osově symetrické potenciální proudění – konkrétně není splněna podmínka, že se změnou axiální složky rychlosti v radiálním směru se musí měnit i radiální složka rychlosti v axiálním směru. Nicméně takto navržené axiální stupně mívají větší účinnosti mimo návrhový stav stupně, především při sníženém průtoku, protože průtok stupněm je rovnoměrněji rozložený. Nicméně pro tyto případy je vhodnější kuželový stupeň, viz další kapitola.

Ztráty změnou meridánové rychlosti při stlačitelném proudění

Eulerova práce

Průtočný průřez

Ztráta výstupní rychlostí

Stupně lopatkových strojů jsou obvykle navrženy pro konkrétní velikost meridiánové rychlosti, která je kompromisem mezi velikostí stupně a ztrátami, takže když se tato rychlost mění v rámci stupně nebo i v rámci vícestupňových strojů, tak nějaké parametry pracovního stroje to zlepšuje, ale většinu zhoršuje. Například u tepelných turbín se postupně zvyšuje měrný objem jak pracovní plyn expanduje. Takže při stejných průtočných průřezech stupně dochází postupně k nárůstu rychlosti. Vyšší rychlosti znamenají nejen vyšší třecí ztráty, ale i tzv. ztrátu výstupní rychlostí, kdy je Eulerova práce stupně nižší ve prospěch výstupní kinetické energie. Obdobně je to při kompresi v turbokompresorech, kde při stejných průtočných průřez dochází k poklesu rychlosti. To znamená, že může klesnout ztráta třením, ale s poklesem rychlosti je nutné zvětšit prohnutí lopatek (pro zachování stejné Eulerovy práce stupně, respektive obvodové složky rychlosti), což může vést k odtržení proudu od lopatek.

Změna poloměru

Jestliže je axiální složka rychlosti na vstupu a výstupu kuželového stupně konstantní, tak lze rovnice kontinuity odvodit vztah mezi vstupním a výstupním poloměrem, viz Vzorec 17.

17: Vzorec pro výpočet výstupního poloměru kuželového stupně

V případě pracovních strojů se označuje stav před stupněm místo 0 číslem 1 a za stupněm místo 2 číslem 3. Odvozeno za předpokladu V_0θ=V_2θ=0. Odvození rovnice je v Příloze 3.

Konstantní měrný hmotnostní tok

Posledním vzorcem je dán jednoznačný vztah mezi axiální a radiální složkou rychlosti, protože z délky stupně t lze vypočítat úhel kuželové plochy ε. Kuželový stupeň zohledňuje změnu hustoty a již z principu tedy by měl být navržen pro konstantní měrný průtok. Znaméná to, že axiální složka rychlosti by ve směru radiálním měla být proměnná (Vzorec 18), a protože ve směru axiálním se mění i radiální složka, tak se takový návrh blíží předpokladům potenciálního proudění.

18: Vzorec axiální složky rychlosti kuželového stupně s konstantním měrným hmotnostní tokem

A [m²] průtočný průřez; n-číslo proudové plochy. Axiální rychlost se počítá vždy těsně před nátokovou hranou lopatky a za odtokovou hranou lopatky. Změna poloměru mezi lopatkovými řadami způsobuje, že výstupní trojúhelník na výstupu z předchozí řady bude jiný než na vstupu do následující řady, a je nutné přepočítat nejen axiální ale i obvodovou složku rychlosti. Vzorec je zapsán ve tvaru pro turbínové stupně, pro stupně pracovních strojů platí stejný vzorec, s tím, že stačí zaměnit index 0 za 1 a index 1 za 3. Odvození vzorce je uvedeno v Příloze 4.

Stupeň reakce

Stupeň reakce R pro jednotlivé poloměry se musí počítat iteračně, tj. provede se odhad stupně reakce pro vyšetřovaný poloměr a z něj se stanoví parametry pracovního plynu, ze kterých se následně spočítají rychlosti a stupeň reakce, jehož výsledek se porovná s odhadem, viz Obrázek 19.

Třecí teplo

Tření z ventiláční ztráty zvyšuje teplotu na třecích plochách, takže zahřívá jak pracovní tekutinu tak hmotu stroje, viz Vzorec 21.

21: Rozdělení tepelného toku z ventilační ztráty

w_r [J·kg^-1] ventilační ztráta; q_r [J·kg^-1] teplo z venitlační ztráty; δ [1] součinitel rozdělení tepelného toku z ventilační ztráty rotoru; δ·w_r [J·kg^-1] část tepla vzniklé ventilací odvedené do stěn stroje (teplo sdílené s okolím); (1-δ)w_r [J·kg^-1] část tepla vzniklé ventilací odvedené do pracovní tekutiny.

Pfleiderer and Petermann, 2005

Kousal, 1980

K výpočtu ventilačních ztrát se používají poloempirické vztahy, např. [Pfleiderer and Petermann, 2005, s. 323], pro rotory bez krycího disku jsou uvedeny poloempirické vztahy v [Kousal, 1980, s. 249], které zahrnují i ztrátu okrajovou lopatek. Tyto vztahy jsou funkcí rozměrů a tvaru rotoru a otáček.

Vliv protiběžného víru

Coriolisovo zrychlení

Protiběžný vír vzniká působením Coriolisova zrychlení na proudící pracovní tekutinu v radiálním směru, proto je tato ztráta tím významanější, čím větší je radiální složka proudění. Výrazně ovlivňuje proudění v radiálních stupních, viz Obrázek 22a. Tento jev je analogický ke vzniku cyklonů vznikajících v atmosféře Země.

Odtržení proudu

Radiální lopatky

Relativní protiběžný vír má velký vliv na citlivost odtržení proudu od profilu centrifugálních stupňů pracovních strojů. U lopatek dopředu zahnutých je tato náchylnost větší, protože odstředivé zrychlení směřuje od odtokové hrany na sací straně lopatek a ještě více podporuje odtržení. U dozadu zahnutých lopatek je náchylnost na odtržení menší, protože odstředivé zrychlení směřuje k ploše sací strany lopatek, tím mezní vrstvu částečně stabilizuje, viz Obrázek 22(b, c). Z uvedených důvodů je hustota lopatkové mříže s radiálními dopředu zahnutými lopatkami větší než mříží s dozadu zahnutými lopatkami, i když to znamená vyšší profilové ztráty.

22: Protiběžný vír v lopatkovém kanále radiálního stupně

(a) vznik protiběžného víru; (b) dostředivé proudění; (c) odstředivé proudění. Ω [rad·s^-1] úhlová rychlost protiběžného víru; a_r [m·s^-2] odstředivé zrychlení; a_c [m·s^-2] Coriolisovo zrychlení.

25: Definice součinitele skluzu u centrifugálního stupně pracovního stroje

μ [1] součinitel skluzu pro centrifugální stupně pracovních strojů (vztahy pro jeho výpočet jsou uvedeny například v [Dixon and Hall, 2010, s. 239]).

Ztráty v záběrníku u radiálních stupňů

Záběrník

U čistě radiálních stupňů mohou vznikat v blízkosti vstupních hran záběrníku víry, viz Obrázky 26(a, b). Ke snížení vlivu těchto vírů se konstruují stupně s postupným zmenšením šířky radiální lopatky, Obrázek 26c.

Víry vznikají i u špic lopatek zaběrníku radiální stupně v místě přechodu z axiání do radiálního směru. Tento vír vzniká vytlačením části pracovní tekutiny u špic lopatek, radiálním proudem o vyšším tlaku, viz Obrázek 26d.

26: Snížení průtoku u čistě radiálního stupně a opatření

Misárek, 1963

Rozsáhlé informace z měření vlivu jednotlivých typů ztrát na účinnost radiálního kompresorového stupně jsou uvedeny v [Misárek, 1963].

Ztráta parciálním ostřikem

Odtržení proudu

Tření

Kadrnožka, 2004

Ztráta parciálním ostřikem vzniká v případech, kdy tekutina vstupuje do stupně pouze na části obvodu rotorové řady lopatek, viz Obrázek 27. Samotná ztráta je realizována v okrajových pásmech (víření tekutiny v důsledku odtrhávání proudu od lopatek) a třením lopatek o "statickou" pracovní tekutinu (pracovní tekutiny jenž vyplňuje mezeru mezi rotorem a statorem v lopatkové části) mimo pracovní oblast. Podrobnosti k mechanismu vzniku ztráty parciálním ostřikem a její přibližný výpočet je v [Kadrnožka, 2004, s. 196].

2D výpočet

Energetická rovnováha

Eulerova práce

Při analytickém návrhu provádíme buď 1D nebo 2D výpočet. V případě 2D výpočtu musí být dodržena podmínka energetické rovnováhy. To znamená, že základem je predikce Eulerovy práce na jednotlivých vyšetřovaných poloměrech stupně tak, že součet ztrát a Eulerovy práce musí být na každém poloměru stejný. Z předchozích kapitol o ztrátách je zřejmé, že je téměř nemožné navrhnout stupeň lopatkového stroje, který by měl na všech poloměrech stejnou Eulerovu práci, respektive ztráty. Nicméně pro první iteraci se navhruje rozložení Eulerovy práce podle rovnice pro potenciální vír nebo Rovnice 5 pro prohnuté lopatky, které byly odvozeny pro konstantní hodnotu Eulerovy práce, viz Obrázek 28. Až v dalších iterací pro navržený tvar podle první iterace se ztráty a práce pro jednotlivé poloměry počítají podle potřeby přesněji, případně i numericky.

28: Porovnání Eulerovy práce axiálního stupně při proudění izoentropický a reálným se ztrátami

w_E,is [J·kg^-1] průběh Eulerovy práce při proudění beze ztrát; w_E,ref [J·kg^-1] navrhovaný lienární (konstantní) průběh Eulerovy práce částečně respektující průměrné ztráty stupně; L_w,m [J·kg^-1] průměrné profilové ztráty stupně. Obrázek je nakreslen pro axiální stupeň turbíny, ale pro axiální stupeň pracovního stroje platí to samé, akorát obvodová práce bude záporná, více v článku Termodynamika turbokompresorů.

Stupeň reakce

V případě 2D návrhu stupně jsou v první iteraci odhadnuty průměrný hodnoty vnitřních ztrát stupně a zadány základní parametry na referenčním poloměru, obvykle u paty, nebo na středním kvadratickém poloměru. Parametry na dalších poloměrech se dopočítávají z parametrů na referenčním poloměru přes hodnotu stupně reakce. V případě hydraulických strojů, respektive při nestlačitelném proudění lze odvodit vzorce pro stupeň reakce axiálního stupně pro jednotlivé poloměry, viz Vzorec 29. V případě stlačitelného proudění je nutné použít itarační smyčku podle Obrázku 19, viz Úloha 2.

31: Průběh stavových veličin v h-s diagramu u jednostupňového kompresoru se vstupním a výstupním hrdlem

(a) tlaková ztráta ve vstupním hrdle (změna i-1); (b) tlaková ztráta ve výstupním hrdle (změna 3-e). Index _i označuje stav pracovního plynu na vstupu do sacího hrdla kompresoru, index _e na výstupu ze spirální skříně kompresoru, index ₁ označuje stav pracovního plynu před rotorem index ₂ na výstupu z rotoru, index ₃ na výstupu ze stupně (oběžné kolo+difuzor), index _s označuje celkový stav.

Jednostupňové stroje

Kadrnožka, 2003

Macek, 1988

Data pro odhad ztrát v hrdlech jsou uvedena v [Kadrnožka, 2003, s. 143], [Macek, 1988, s. 58]. Podíl ztrát v hrdlech na vnitřních ztrátách stroje klesá s počtem stupňů, respektive u jednostupňových strojů mají podstatný vliv na vnitřní účinnost.

Ztráty vnější netěsností

Netěsnost

Odběr

Pracovní tekutina může proudit strojem mnoha cestami včetně netěstnostmi a požadovanými odběry, pak je vnitřní výkon/příkon stroje součtem výkonů/příkonů na jednotlivých cestách. Jedna cesta bývá ale dominantní. Přesná vnitřní účinnost stroje se stanoví z porovnání vnitřních výkonů, tj. stanovíme ideální výkon pro konkrétní cesty, viz Obrázek 32.

32: Vnitřní účinnost lopatkového stroje se započítáním netěsností

(a) vzorce pro turbíny; (b) vzorce pro pracovní stroje. η_i [1] vnitřní účinnost; w_i [J·kg^-1] měrná vnitřní práce; P_i [W] vnitřní výkon/příkon stroje; P_id [W] vnitřní výkon/příkon stroje při práci beze ztrát; m [kg·s^-1] hmotnostní průtok jednotlivými cestami (případně i odběry). x-číslo cesty.

(a) meridiální řez stupněm; (b) návrh tvaru rychlostního trojúhleníku; (c) h-s diagram na jednotlivých poloměrech s uvožováním pouze profilových ztrát.

Odkazy