VYUŽITÍ PODOBNOSTÍ LOPATKOVÝCH STROJŮ PŘI NÁVRHU LOPATKOVÉHO STROJE

Základní pojmy

Návrh lopatkového stroje se provádí na základě zadání, které obsahuje základní parametry, ale k návrhu to obvykle nestačí. Další parametry musí konstruktér získat aplikací teorie podobnosti, při které jsou pro predikci rozměrů, výkonových a spotřebních charakteristik strojů použity modely. Základními veličinami v teorii podobnosti jsou bezrozměrové součinitelé neboli podobnostní součinitelé.

Teorie podobnosti

Pozorovatel

Zkušenost

Vzdělání

Teorie podobnosti je nástrojem rozumem obdařeného pozorovatele k předpovědi vývoje sledovaných či budoucích procesů na základě již známého podobného procesu. Pozorovatel musí být ovšem schopný nejprve určit, že se jedná o podobný proces, k tomu mu slouží zkušenost a vzdělání v dané oblasti přírodních či humanitních věd, do kterého proces podle svých příznaků spadá a schopnost nalézat souvislosti. Teorie podobnosti se používá nejen v technice, ale i v medicíně a dalších přírodních vědách.

Model

Modelový stroj

Výpočtový model

V teorii podobnosti hledá podobnosti reálných procesů či objektů s modely. Model je úsek reality, který dokonale chápeme, často je dobře popsatelný nějakou teorií, a v požadovaném čase jsme schopni zjistit jeho vlastnosti ve zkoumaných situacích a současně si o tomto úseku myslíme, že má v těchto situacích stejné klíčové vlastnosti jako jiný úsek reality, který chceme realizovat. Modelem tedy může být podobný (modelový) stroj nebo i výpočtový model jako například výpočet lopatkového stroje pro případ potenciálního proudění (proudění beze ztrát), výpočet za nějakého jiného zjednodušujícího předpokladu apod.

Podobnostní součinitel (Kritérium podobnosti)

Model musí mít s cílovým objektem, nebo procesem stejné hodnoty kritérií podobnosti – pokud se jedná o vztah mezi fyzikálními veličinami, tak se používá pojem podobnostní součinitel – definovaná pozorovatelem. Mezi podobnostní součinitele patří například číslo π, které je poměrem obvodu kruhu a jeho průměru (3,14159...). Při výpočtu obvodu kruhu tedy vycházíme z toho, že kružnice jsou si podobné a uvedený poměr platí pro všechny její velikosti. Dalším známým podobnostním součinitelem, je Reynoldsovo číslo apod. používané při vyhodnocování vlastnosti proudění. Typickým znakem kritéria podobnosti je bezrozměrnost, protože vyjadřuje obvykle poměry mezi vybranými veličinami.

Radiální ventilátor

Bleier, 1997

Hodnoty geometrických součinitelů lopatkových strojů uvádí firemní podklady pro konstrukci a jsou i hojně publikované ve specializované literatuře, viz odkazy na konci článku a příklady hodnot pro radiální ventilátor s dopředu zahnutými lopatkami v Tabulce 2.

Průtokový součinitel

Rychlostní trojúhelník

Meridánová rychlost

Tvar rychlostního trojúhelníku je dán geometrií rotoru, která byla vybrána na základě geometrické podobnosti uvedené výše. Průtokový součinitel udává obvyklé poměry jednotlivých stran výstupního rychlostního trojúhelníku rotoru. Je to poměr mezi meridiánovou rychlostí pracovní tekutiny a obvodovou rychlostí na výstupu z rotoru měřené u špice lopatek, respektive obvodu radiálního kola, Vzorec 3. U stupňů radiálních centripetálních turbín může být ale definice průtokového součinitele vztahována na vstup do oběžného kola (V_1r, U₁).

3: Definice průtokového součinitele

(a) definice průtokového součinitele; (b) aplikace průtokového součinitele na radiální stupeň pracovního stroje. ϕ [1] průtokový součinitel; V_2m [m·s^-1] meridánová rychlost pracovní tekutiny; V_2r [m·s^-1] radiální složka rychlosti V₂.

Uvedený poměr rychlostí je dán průtokem pracovní tekutiny stupněm a průtočnou plochou, proto lze vzorec pro ϕ převést do rozšířenějšího obecného tvaru, který udává průměrnou hodnotu ϕ pro celý stupeň, viz Vzorec 4a. Místo skutečné průtočné plochy se také používá referenční plocha rovna ploše kruhu o vnějším průměru rotoru, například u ventilátorů. To je možné, protože skutečná průtočná plocha A₂ ventilátorů je funkcí průměru d₂, viz Vzorec 1. V takovém případě, ale už ϕ nevyjadřuje přímo poměr vybraných stran výstupního rychlostního trojúhelníku, ale násobek tohoto poměru, viz Vzorec 4b. Kvůli této nejednoznačné definici pro ϕ je nutné při udávání hodnot průtokového součinitele uvádět i  vzorec, aby bylo patrné o jakou hodnotu se jedná.

Měrné (specifické) otáčky

Měrné otáčky

Měrné otáčky jsou definované Vzorcem 8. Měrné otáčky jsou otáčky popisovaného stupně, při kterých by měl stupeň výkon 1 W, přičemž by byl zatížen energetickou diferencí 1 J·kg^-1 a rotor by byl zmenšen/zvětšen na průměr 1 m (je možné se setkat v odborné literatuře i s jinými parametry modelového stupně v jiných jednotkách). V případě jednostupňových strojů je energetická diference vztažená na celý stroj.

8: Definice měrných otáček

N_S [min^-1] měrné otáčky (měrné výkonové otáčky); N [min^-1] skutečné otáčky stroje; w_i [J·kg^-1] vnitřní práce stupně (stroje); d [m] referenční průměr (nejčastěji průměr oběžného kola); P [W] výkon stupně/stroje. Odvození vzorce je uvedeno v Příloze 5.

Hydraulické stroje

Vodní turbíny

Vnitřní práce se u hydraulických strojů přepočítává například na disponibilní vodní spád (u vodních turbín) vycházející z Bernoulliho rovnice (Vzorec 9), či celkovou změnu tlaku (u čerpadel a ventilátorů). Vzorec pro měrné otáčky stupně ventilátoru se upravuje tak, aby místo výkonu P_i vystupoval objemový průtok. Někdy se dokonce se vzorec pro měrné otáčky upraví tak, že již nemá značku jednotky min^-1, ale pro srozumitelnost se stále používá pojem otáček se značkou jednotky min^-1. To je i případ posledně zmíněného Vzorce 9 měrných otáček vodních turbín, kde je vynecháno gravitační zrychlení, které je na celé planetě "stejné", a na porovnání dvou vodních turbín nemá vliv. Vyjmutím gravitačního zrychlení již měrné otáčky nemohou mít značku jednotky min^-1.

9: Vzorec pro určení měrných otáček vodních turbín

g [m·s^-1] gravitační zrychlení; Δz [m] rozdíl výšek hladin. Protože vodní turbíny jsou jednostupňové stroje porovnává se obvykle už předpokládaný výkon na spojce.

11: Vnitřní účinnost kompresorových stupňů v závislosti na měrných otáčkách

a-radiální stupeň s axiálním vstupem; b-axiální stupeň η_is [1] vnitřní účinnost stupně kompresoru. Zdroj dat v [Japikse, 1997, s. 1-23].

Podobnosti provozních charakteristik stupňů lopatkových strojů

Podobnost lopatkových strojů lze využít k predikci provozních charakteristik pracovních strojů a dokonce i účinností, respektive jejich ztrát a optimálních provozních stavů.

Provozní charakteristika

Vnitřní práce

Kompresní poměr

Hmotnostní tok

Zvýšení celkového tlaku

Provozní charakteristiky stupňů lopatkových strojů jsou závislosti změn dvou a více sledovaných provozních veličiny stroje, například výkon, respektive vnitřní práce, kompresní poměr, zvýšení celkového tlaku na průtoku apod. V některých případech lze na základě teorie podobnosti odvodit rovnice provozních charakteristik jako funkce tlakového, nebo průtokového součinitele při konstantních otáčkách, viz Vzorce 12.

12: Provozní veličiny stupňů lopatkových strojů

ε_s [1] kompresní poměr; C_P [J·kg^-1·K^-1] měrná tepelná kapacita při stálém tlaku; T_i,s [K] celková absolutní teplota pracovního plynu na vstupu do stupně; n [-] exponent polytropy. Vzorec pro w_i je odvozený s uvažováním pouze profilových ztrát, odvození je uvedeno v Příloze 6.

Bezrozměrové charakteristiky

Závislost tlakového součinitele na průtokovém se nazývá bezrozměrová charakteristika, která je v ideálním případě funkcí pouze úhlu lopatek, viz Vzorce 13.

Vnitřní ztráty

Ideální charakteristika nezohledňuje ztráty, které nutně při proudění vznikají. Rozdíl mezi Δh_s,is a w_i jsou vnitřní ztráty stupně, takže tyto ztráty je možné vyjádřit i z rozdílu tlakového součinitele při ideálním proudění a reálném prouděním, viz Rovnice 15.

15: Vztah mezi ztrátami stupně a součiniteli podobnosti

(a) pro turbínové stupně; (b) pro stupně pracovních strojů. L_w [J·kg^-1] vnitřní ztráty stupně.

Odtržení proudu

Vnitřní účinnost

Ztráty se samozřejmě s průtokem mění, ale pokud máme dva podobné stupně (stroje) bude tato závislost podobná, takže naměříme-li provozní charakteristiku jednoho referenčního stupně a vytvoříme z ní bezrozměrovou chlarakteristiku (Obrázek 16, Obrázek 17), pak lze docela přesně predikovat pomocí Vzorců 12 provozní charakteristiku zcela nového stupně i jeho vnitřní účinnost. Pomocí Vzorců 15 lze dokonce očekávané ztráty u nového navrhovaného stupně i číselně vyjádřit.

16: Reálné bezrozměrové charakteristiky stupňů lopatkových strojů

vlevo-příklad charakteristiky stupně axiální turbíny; vpravo-příklad charakteristiky stupně radiálního pracovního stroje (β_B2>90°). SS-oblast kolapsu proudění ve stupni (stage stall) – v důsledku nevhodné kombinace nátokového úhlu i a průtoku dochazí k odtržení proudu od lopatek; i-průběh ztráty nesprávným nátokovým úhlem. η_i [1] vnitřní účinnost stupně (vzorec platný pro turbínové i pracovní stupně). Index _opt značí optimální. Charakteristika jsou pro N=konst. Odvození vzorce pro vnitřní účinnost je uvedeno v Příloze 9.

Dovětek k použití podobnostních součinitelů při návrhu nového stroje

Podobnostní součinitel

Měrné otáčky

Tlakový součinitel

Podobnostní součinitelé podstatným způsobem doplňují zadání, nicméně je nutná jistá opatrnost při použití více podobnostních součinitelů na jednom stroji, protože mnoho podobnostních součinitelů je funkcí jiného a odhadem více součinitelů může dojít k přeurčení zadání. Zvláště je to patrné u vztahu mezi měrnými otáčkami N_S a tlakovým součinitelem ψ – pro případ d=d₂ (např. pracovní stroje) lze totiž odvodit Vzorec 18 dosazením vzorců pro obvodovou rychlost U a vnitřní práci w_i (Vzorec 12) do Vzorce 8 pro měrné otáčky. Z čehož plyne, že v tomto přídě lze vycházet buď pouze z optimální hodnoty měrných otáček, nebo tlakového součinitele.

18: Měrné otáčky jako funkce tlakového součinitele

MKP

Role teorie podobnosti klesá vzhledem k výkonům počítačů, které jsou se specializovaným softwarem založeným na principu MKP schopny iteračním postupem nalézt optimální řešení v přijatelném výpočtovém čase. Na druhou stranu díky znalosti teorie podobnosti je schopen konstruktér vybrat počáteční variantu optimalizace velmi dobře, takže software řeší méně variant, což je rychlejši, případně lze snadněji odhalovat příčiny nedostatečných parametrů vyšetřovaného stroje.

Úlohy

a-horní nádrž; b-spodní nádrž; c-strojovna; d-vodní turbína.