VYUŽITÍ PODOBNOSTÍ LOPATKOVÝCH STROJŮ PŘI NÁVRHU LOPATKOVÉHO STROJE

Základní pojmy

Návrh lopatkového stroje vychází ze zadaných parametrů. Množství zadaných parametrů obvykle nepostačuje k přímému výpočtu rozměrů stroje, z toho důvodu musí konstruktér získat další vstupní parametry pomocí teorie podobnosti. Teorie podobnosti využívá tzv. modely pro predikci rozměrů, výkonových a spotřebních charakteristik strojů. Základními veličinami v teorii podobnosti jsou podobnostní součinitelé.

Teorie podobnosti jako nástroj zkušeného a vzdělaného pozorovatele

Teorie podobnosti je nástrojem rozumem obdařeného pozorovatele k předpovědi vývoje sledovaných či budoucích procesů na základě již známého podobného procesu. Pozorovatel musí být ovšem schopný nejprve určit, že se jedná o podobný proces, k tomu mu slouží zkušenost a vzdělání v dané oblasti přírodních či humanitních věd, do kterého proces podle svých příznaků spadá a schopnost nalézat souvislosti. Teorie podobnosti se používá nejen v technice, ale i v medicíně a dalších přírodních vědách.

Model jako předvídatelný úsek reality s požadovanými vlastnostmi

Model je úsek reality, který dokonale chápeme, často je dobře popsatelný nějakou teorií, a v požadovaném čase jsme schopni zjistit jeho vlastnosti ve zkoumaných situacích a současně si o tomto úseku myslíme, že má v těchto situacích stejné klíčové vlastnosti jako jiný úsek reality, který chceme realizovat. Modelem tedy může být podobný (modelový) stroj nebo i výpočtový model, jako například výpočet lopatkového stroje pro případ potenciálního proudění (proudění beze ztrát), výpočet za nějakého jiného zjednodušujícího předpokladu apod.

V technické praxi lze podobnost kvantifikovat pomocí podobnostních součinitelů jako je například číslo π

Model musí mít s cílovým objektem, nebo procesem stejné hodnoty kritérií podobnosti – pokud se jedná o vztah mezi fyzikálními veličinami, tak se používá pojem podobnostní součinitel – definovaná pozorovatelem. Mezi podobnostní součinitele patří například číslo π, které je poměrem obvodu kruhu a jeho průměru (3,14159...). Při výpočtu obvodu kruhu tedy vycházíme z toho, že kružnice jsou si podobné a uvedený poměr platí pro všechny její velikosti. Dalším známým podobnostním součinitelem, je Reynoldsovo číslo používané při vyhodnocování vlastnosti proudění.

Hodnoty geometrických podobností

Hodnoty geometrických podobnostních součinitelů lopatkových strojů uvádí firemní podklady pro konstrukci a jsou i hojně publikované ve specializované literatuře, viz odkazy na konci článku a příklady hodnot pro radiální ventilátor s dopředu zahnutými lopatkami v Tabulce 2.

Průtokový součinitel

Tvar rychlostního trojúhelníku je dán geometrií rotoru, která byla vybrána na základě geometrické podobnosti uvedené výše. Průtokový součinitel udává obvyklé poměry jednotlivých stran výtokového rychlostního trojúhelníku rotoru.

Definice průtokového součinitele

Průtokový součinitel je poměr mezi meridiánovou rychlostí pracovní tekutiny a obvodovou rychlostí na výtoku z rotoru měřené u špice lopatek, respektive obvodu radiálního rotoru, Vzorec 3. U stupňů radiálních centripetálních turbín může být ale definice průtokového součinitele vztahována na vtok do rotoru (V_1r, U₁).

– 3: –

(a) definice průtokového součinitele; (b) aplikace průtokového součinitele na radiální stupeň pracovního stroje. ϕ [1] průtokový součinitel; V_2m [m·s^-1] meridánová rychlost pracovní tekutiny; V_2r [m·s^-1] radiální složka rychlosti V₂.

Alternativní definice průtokového součinitele

Uvedený poměr rychlostí je dán průtokem pracovní tekutiny stupněm a průtočnou plochou, proto lze vzorec pro ϕ převést do rozšířenějšího obecného tvaru, který udává průměrnou hodnotu ϕ pro celý stupeň, viz Vzorec 4a. Místo skutečné průtočné plochy se také používá referenční plocha rovna ploše kruhu o vnějším průměru rotoru, například u ventilátorů. To je možné, protože skutečná průtočná plocha A₂ ventilátorů je funkcí průměru d₂, viz Vzorec 1. V takovém případě, ale už ϕ nevyjadřuje přímo poměr vybraných stran výstupního rychlostního trojúhelníku, ale násobek tohoto poměru, viz Vzorec 4b. Kvůli této nejednoznačné definici pro ϕ je nutné při udávání hodnot průtokového součinitele uvádět i  vzorec, aby bylo patrné o jakou hodnotu se jedná.

Měrné (specifické) otáčky

Měrné otáčky jsou otáčky popisovaného stupně, při kterých by měl stupeň výkon 1 W, přičemž by byl zatížen energetickou diferencí 1 J·kg^-1 a rotor by byl zmenšen/zvětšen na průměr 1 m (je možné se setkat v odborné literatuře i s jinými parametry modelového stupně v jiných jednotkách).

Definiční vzorec měrných otáček

Měrné otáčky jsou definované Vzorcem 8. V případě jednostupňových strojů je energetická diference vztažená na celý stroj.

– 8: –

N_S [min^-1] měrné otáčky (měrné výkonové otáčky); N [min^-1] skutečné otáčky stroje; w_i [J·kg^-1] vnitřní práce stupně (stroje); d [m] referenční průměr (nejčastěji průměr oběžného kola); P_i [W] vnitřní výkon stupně/stroje. Odvození vzorce je uvedeno v Příloze 870.

Speciální varianty měrných otáček podle zvyklostí v daném oboru

Vnitřní práce se u hydraulických strojů přepočítává, například na disponibilní vodní spád vycházející z Bernoulliho rovnice (např. Vzorec 9 pro vodní turbíny), či celkovou změnu tlaku (u čerpadel a ventilátorů). Vzorec pro měrné otáčky stupně ventilátoru se upravuje tak, aby místo výkonu P_i vystupoval objemový průtok. Někdy se dokonce se vzorec pro měrné otáčky upraví tak, že již nemá značku jednotky min^-1, ale pro srozumitelnost se stále používá pojem otáček se značkou jednotky min^-1. To je i případ posledně zmíněného Vzorce 9 měrných otáček vodních turbín, kde je vynecháno gravitační zrychlení, které je na celé planetě "stejné", a na porovnání dvou vodních turbín nemá vliv. Vyjmutím gravitačního zrychlení již měrné otáčky nemohou mít značku jednotky min^-1.

– 9: –

g [m·s^-1] gravitační zrychlení; Δz [m] rozdíl výšek hladin. Protože vodní turbíny jsou jednostupňové stroje porovnává se obvykle už předpokládaný výkon na spojce.

Souvislost mezi měrnými otáčkami a vnitřní účinnosti

Obecně lze tvrdit, že axiální stupně mají vyšší vnitřní účinnost při vyšších měrných otáčkách než radiální a obráceně. To je dáno především tím, že Eulerova práce radiálního stupně bude, díky změně obvodových rychlostí, větší než u axiálního stupně při stejných relativních rychlostech v lopatkových kanálech, což má dopad na ztráty ve stupni, viz Obrázku 11. Souvislost mezi měrnými otáčkami a vnitřní účinnosti stroje je dokázána například v [Ingram, 2009]. Hodnoty optimálních měrných otáček různých typů lopatkových strojů jsou uvedeny například v [Japikse, 1997], [Pfleiderer and Petermann, 2005].

– 11: –

Vnitřní účinnost kompresorových stupňů v závislosti na měrných otáčkách: a-radiální stupeň s axiálním vtokem; b-axiální stupeň. η_is [1] vnitřní účinnost stupně kompresoru. Zdroj dat v [Japikse, 1997, s. 1-23].

Provozní podobnosti stupňů lopatkových strojů

Podobnost lopatkových strojů lze využít k predikci hodnot provozních veličin, vnitřních ztrát a účinností lopatkových strojů a k optimalizaci jejich provozních stavů.

Provozní veličiny jako funkce průtokového a tlakového součinitele

Provozní charakteristiky stupňů lopatkových strojů jsou závislosti změn dvou a více sledovaných provozních veličiny stroje, například výkon, respektive vnitřní práce, kompresní poměr, zvýšení celkového tlaku na hmotnostním toku apod. V některých případech lze na základě teorie podobnosti odvodit rovnice provozních charakteristik jako funkce tlakového, nebo průtokového součinitele při konstantních otáčkách, viz Vzorce 12.

– 12: –

ε_s [1] kompresní poměr; c_P [J·kg^-1·K^-1] tepelná kapacita při stálém tlaku; T_i,s [K] celková absolutní teplota pracovního plynu na vtoku do stupně; n [-] exponent polytropy. Vzorec pro w_i je odvozený s uvažováním pouze profilových ztrát, odvození je uvedeno v Příloze 668.

Vnitřní ztráty jako rozdíl tlakového součinitele ideálního a reálného stroje

Ideální charakteristika nezohledňuje ztráty, které při proudění vznikají. Rozdíl mezi Δh_s,is a w_i (ve Vzorcích 6) jsou vnitřní ztráty stupně, takže tyto ztráty je možné vyjádřit i z rozdílu tlakového součinitele při ideálním proudění a reálném prouděním, viz Rovnice 15.

– 15: –

(a) pro turbínové stupně; (b) pro stupně pracovních strojů. L_w [J·kg^-1] vnitřní ztráty stupně.

Reálné bezrozměrové charakteristiky stupňů lopatkových strojů

Ztráty se samozřejmě s hmotnostním tokem mění, ale pokud máme dva podobné stupně (stroje) bude tato závislost podobná, takže naměříme-li provozní charakteristiku jednoho referenčního stupně a vytvoříme z ní bezrozměrovou chlarakteristiku (Obrázek 16, Obrázek 17), pak lze docela přesně predikovat pomocí Vzorců 12 provozní charakteristiku zcela nového stupně (– Úloha 721) i jeho vnitřní účinnost. Pomocí Vzorců 15 lze očekávané ztráty u nového navrhovaného stupně i číselně vyjádřit.

– 16: –

vlevo-příklad charakteristiky stupně axiální turbíny; vpravo-příklad charakteristiky stupně radiálního pracovního stroje (β_B2>90°). SS-oblast kolapsu proudění ve stupni (stage stall) – v důsledku nevhodné kombinace nátokového úhlu i a hmotnostního toku dochazí k odtržení proudu od lopatek; i-průběh ztráty nesprávným nátokovým úhlem. η_i [1] vnitřní účinnost stupně (vzorec platný pro turbínové i pracovní stupně). Index _opt značí optimální. Charakteristika jsou pro N=konst.

Určení polohy optimálních a jmenovitých provozních parametrů v diagramu ψ-ϕ

Poměr ψ/ψ_id musí přibližně odpovídat vnitřní účinnosti stupně η_i, protože rozdíl mezi reálným a ideálním tlakovým součinitelem je ekvivalentní ztrátám. Odtud lze očekávat, že stroje, které mají ideální tlakový součinitel roven 2 musí odpovídat jmenovitý výkon (maximální) i optimálnímu. U stupňů s kladnou směrnicí ideálního tlakového součinitele lze očekávat optimální výkony při nižších hmotnostních tocích než jsou jmenovité. U stupňů se zápornou směrnicí ideálního tlakového součinitele lze očekávat optimální výkony při vyšších hmotnostních tocích než jsou jmenovité. Toto chování je způsobeno zejména změnou zakřivení proudu se změnou nátokového úhlu – v prvním případě roste s hmotnostním tokem zakřivení proudu než dojde k odtržení proudu, ve druhém případě dochází ke zvětšení zakřivení proudu při snižujícím se hmotnostním toku atd. Z hodnot ψ_opt, ϕ_opt lze vypočítat rozměry nového stroje, při kterých bude velmi pravděpodobně dosahovat optimálních parametrů (Úloha 262).

 

Predikce citlivosti výkonu na změny hmotnostního toku

Očekávaný tvar reálné bezrozměrové charakteristiky také závisí na hodnotě směrnice ideálního výkonového součinitele jak naznačuje Obrázek 16. Čím bude hodnota směrnice větší tím, bude reálná bezrozměrová charakteristika strmější. Například v případě axiálního stupně se stupněm reakce 0 bude výkon citlivější na změny hmotnostního toku více než stupeň se stupněm reakce 0,5 apod., viz závěry na Obrázku 14.