Copyright©Jiří Škorpík, 2022
All rights reserved.
Pomocí základních rovnic lze vypočítat rozložení sil a energií v pracovní tekutině lopatkového stroje. K výpočtu těchto veličin je nutné znát i rozložení rychlosti pracovní tekutiny, proto jsou rovnice pro výpočet rychlosti pracovní tekutiny také součástí tohoto článku. Tyto základní rovnice jsou obecné rovnice platné pro všechny typy lopatkových strojů a jsou klíčové pro konstruování, predikci vlastností, pochopení příčin hávarií nebo problémového chodu lopatkových strojů.
Síly působící od proudu tekutiny na plochy stroje lze určit z věty o změně hybnosti. Speciální tvar věty o změně hybnosti se používá k výpočtu sil působící na lopatky. Síla působící na lopatky je přibližně kolmá na střední aerodynamickou rychlost v lopatkové mříži.
Podle věty o změně hybnosti tělesa, respektive objemu tekutiny (druhý Newtonův zákon) je změna hybnosti tekutiny v čase rovna součtu vnějších sil působící na tekutinu v kontrolním objemu. V případě aplikace tohoto zákona na tekutinu uzavřené v kontrolním objemu VC (Obrázek 1) připadají v úvahu jako síly vnější: tlakové síly od okolní tekutiny na hranicích kontrolního objemu Fp, tíha tekutiny v kontrolním objemu Fh, a síly působící od těles uvnitř a na hranicíh kontrolního objemu Fb. Změna hybnosti tekutiny uvnitř kontrolního objemu je také rovna rozdílu
součinu rychlosti a hmotnostního průtoku mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu [Bathie 1984], [Kadrnožka 2003].
Výpočet sil působící na lopatky v lopatkové mříži od proudu tekutiny je klasická úloha v lopatkových strojích. Při aplikaci věty o změně hybnosti jsou při defininování hranic kontrolního objemu cílem takové hranice, na kterých jsou známy hodnoty parametrů nutné pro výpočet. Proto je kontrolní objem na Obrázku 2 vymezen tak, aby procházel středem lopatkového kanálu, respektive hranice AD a BC byly od sebe vzdáleny o rozteč lopatkové mříže. Současně jsou hranice AD a BC očekávané proudnice relativních rychlostí W rychlostního trojúhleníku této lopatkové mříže. Lopatkové kanály jsou v jedné lopatkové mříži stejné, takže působení tlakových sil na hraních AB se vyruší s působením tlakových sil na hranicích DC. Na těchto hranicích se vyruší i hodnota integrace součinu absolutní rychlosti V a hmotnostního toku, viz Rovnice 2.
Typické pro vyšetření sil ve stupni lopatkového stroje je použití válcové soustavy souřadnic. Síla F ve válcové soustavě souřadnic má tři prostorové složky, a to složku v radiálním směru Fr, v obvodovém směru Fθ (tato síla vytváří kroutící moment) a v axiálním směru Fa (tato síla způsobuje namáhání rotoru v axiálním směru a zachycuje jí axiální ložisko) – zkráceně se označují tyto složky jako radiální, obvodová a axiální síla.
Síla působící na lopatku je přibližně kolmá na střední aerodynamickou urychlost v lopatkové mříži Wm, která je střední rychlostí z relativní rychlosti proudu na vstupu W1 a výstupu z lopatkové mříže W2. Přesněji lze dokázat (viz Rovnice 3), že výsledná síla působící na lopatku od proudu nestlačitelné tekutiny F je kolmá na střední aerodynamickou rychlost wmn při proudění beze ztrát.
tekutiny F je kolmá na střední aerodynamickou rychlost wmn při proudění beze ztrát.
Při návrhu rozložení energie, respektive její transformace ve stupni lopatkového stroje se vychází ze dvou směrů. Ve směru kolmém na meridální směr se navrhuje rozložení Eulerovy práce, což je lokální hodnota vnitřní práce. V meridiálním směru rozhoduje o vlastnostech stupně návrh stupně reakce, který popisuje rozdělení energetických transformací mezi stator a rotor stupně.
popisuje rozdělení energetických transformací mezi stator a rotor stupně.
Eulerova práce nebo obvodová práce je prací tekutiny předaná lopatkám v okolí vyšetřované proudnice, viz Obrázek 4(b). Rozdíl oproti vnitřní práci stupně wi je v tom, že vnitřní práce stupně je průměrná hodnota práce veškeré pracovní tekutiny, která protéká stupněm (včetně mezer) a lze ji určit z kompletní energetické bilance stupně, viz Obrázek 4(a). Takže část tekutiny vykoná větší práci než jiná, ale jejich průměr je wi. U reálných stupňů je nevětší Eulerova práce v jádru proudu (na středním průměru lopatek), kde jsou nejmenší ztráty. Naopak u okrajů lopatek, respektive v blízkosti jejich pat a špic, jsou ztráty a tedy Eulerova práce nejmenenší zejména v důsledku tření o hřídel a skříň a vnitřní netěsností. Eulerovu práci, lze stanovit jen z rychlostních trojúhleníků na vyšetřované prouděnici, viz Vzorec 4(c) – Eulerova turbínová rovnice.
Podobným způsobem lze stanovit dvěma cestami vnitřní účinnost stupně, buď k Eulerovy práci (tzv. Eulerova účinnost nebo obvodová účinnost) nebo vnitřní práci, jako je provedeno v Úloze 4.
Stupeň reakce je parametr popisující rozložení energie mezi statorovou a rotorovou řadou lopatek, respektive změny stavových veličin v meridiánovém směru na jednotlivých řadách lopatek. Stupeň reakce je definován jako poměr mezi změnou statické entalpie v rotorové řadě lopatek a změnou celkové entalpie stupně (Vzorec 5), nebo změnou statické entalpie stupně – zaleží na zvyklosti v daném oboru [Kadrnožka, 2004], [Japikse, 1997], [Bathie 1984], [Ingram, 2009].
entalpie stupně (Vzorec 5), nebo změnou statické entalpie stupně – zaleží na zvyklosti v daném oboru [Kadrnožka, 2004], [Japikse, 1997], [Bathie 1984], [Ingram, 2009].
Stupeň reakce se stanovuje ke konkrétnímu proudovému vlánku (poloměru) podobně jako Eulerova práce. Pro výpočet stupně reakce je důležitá znalost konstrukce h-s diagramu, ze kterého lze určit rozdíly měrných entlapií Δhs a ΔhR (viz Úloha 5, Úloha 6). h-s diagramy a popis jejich konstrukce jsou uvedy na Obrázku 6. V případě hydraulických strojů lze stanovit požadované rozdíly tlaků Δps a ΔpR z Bernoulliho rovnice, viz Úloha 7 a Úloha 6.
Většina stupňů je navrhována s proměnným stupněm reakce po výšce lopatek, přitom častým požadavkem při konstrukci stupně je stupeň reakce na středním poloměru kolem 0,5 (u radiálních stupňů i něco vyšší kvůli rozdílu obvodových rychlostí na rotoru), protože při maximální Eulerovy práci jsou absolutní
rychlosti ve statorových kanálech přibližně stejné jako relativní rychlosti v rotorových kanálech, a tedy i rozložení ztrát mezi stator a rotor je rovnoměrné, viz Obrázek 7.
Nulový nebo jen velmi malým stupeň reakce mají Lavalovy turbíny a Peltonovy turbíny. Z pracovních strojů se používají nízké stupně reakce u některých typů ventilátorů. Důvody jsou principiální nebo konstruční, protože při malém stupni reakce je tlaková síla působící na rotor také malá a proto se tyto stupně označují jako rovnotlakové nebo akční. Naopak na rotory stupňů s významným stupně reakce působí i větší tlaková síla na rotor a proto se označují jako přetlakové nebo reakční.
U axiálních stupňů se zvyšujícím stupněm reakce klesá prohnutí lopatek a tedy i jejich citlivost na odtržení proudu od profilu. Prohnutí se zvětšuje v důsledku velké změny hybnosti tekutiny v lopatkových kanálech.
Rovnice ideálního proudění jsou odvozeny pro proudění ideálních tekutin bez vnitřních ztrát. Ideální proudění je považováno za potenciální (znamená to, že rychlost lze vypočítat pouze pomocí souřadnic bodu podle potenciální funkce V=f(x, y, z) v případě pravoúhlé soustavy souřadnic, nebo podle funkce V=f(r, θ, a) v případě válcové soustavy souřadnic).
Rovnice ideálního proudění lze použít pro základní návrh průtočných částí lopatkových strojů a pro analýzu vlivu tvaru průtočných částí na vnitřní ztráty stroje.
Pokud má být proudění potenciální, pak musí být rotor vektoru rychlosti v celém vyšetřovaném objemu roven nule, Rovnice 8(a). Aby proudění bylo považováno za osově symetrické, tak musí mít gradienty složek rychlosti v obvodovém směru ve valcové soustavě souřadnic rovny nule, viz Rovnice 8(b), protože obvodové souřadnice jsou uzavřené a rychlost v počátku osy obvodového směru musí být totožná s tou na konci souřadnic – jedná se o stejný bod, současně je tato rychlost nezávislá na stanovení počátku osy obvodového směru. Speciální rovnice potenciálního proudění splňující tyto dvě podmínky se nazývají rovnice rychlosti osově symetrického potenciálního proudění (Rovnice 8(c-h)), přičemž uvedené podmínky lze aplikovat i na další veličiny pracovní tekutiny.
Při výpočtu další stavových veličin lze mimo rovnic energetických bilanci použít velmi efiktivně Eulerovu rovnici hydrodynamiky pro potenciální proudění, například [Škorpík, 2009, s. 42_39]. Z tvaru Eulerovy rovnice hydrodynamiky lze mimo jiné vyčíst, že gradient tlaku potenciálního proudění bez vliv gravitačního zrchlení nemůže mít obvodovou složku, protože ji nemá ani gradient rychlosti, respektive kinetické energie, viz Úloha 8.
Součin r·Vθ se nazývá cirkulace obvodové složky rychlosti, která je konstatní, takže má stejné vlastnosti jako potenciální vír, viz [Škorpík, 2009, s. 42_40]. Jestliže je cirkulace konstantní, pak i rozdíl rozdíl cirkulací před a za rotorem je konstantní a pak i podle rovnice Eulerovy práce (Rovnice 4) beude Eulerova práce potenciálního proudění konstantní po výšce lopatek, viz Úloha 8.
Rovnice osově symetrické potenciálního proudění lze aplikovat i na spirální dráhy, například ve spirálních kanálech (Úloha 9) nebo v bezlopatkových difuzorech a konfuzorech (Úloha 10).
1. | zadání: | V2θ; V2r; r2; p2; ΔpS; t2 | 4. | řešení: | r3 z m2=m3 | |||||||
2. | odečet: | h3; t3 z h-s diagramu | 5. | výpočet: | α2; α3 | |||||||
3. | výpočet: | V3; ρ3 | 6. | porovnání: | α2 vs α3 |
Copyright©Jiří Škorpík, 2022
All rights reserved.