|
autor:
ŠKORPÍK, Jiří (LinkedIn.com/in/jiri-skorpik)
datum vydání:
Září 2009; Září 2022 (2. vydání)
název:
Základní rovnice lopatkových strojů
sborník:
provenience: Brno (Česká republika)
email: skorpik.jiri@email.cz
Copyright©Jiří Škorpík, 2009-2022 |
Rovnice pro výpočet sil působící na plochy stroje od proudu tekutinySíly působící od proudu tekutiny na plochy stroje lze určit z věty o změně hybnosti. Její speciální tvar se používá i k výpočtu sil působící na lopatky v lopatkové mříži od proudu tekutiny, což je klasická úloha v lopatkových strojích.
 1: Věta o změně hybnosti VC [m3] kontrolní objem; SC [m2] plocha hranice kontrolního objemu; V [m·s-1] rychlost pracovní tekutiny; M [N·s] hybnost tekutiny uvnitř kontrolního objemu; t [s] čas; Fb [N] výslednice sil působící na pracovní tekutinu od těles uvnitř a na hranici kontrolního objemu; Fh [N] tíha pracovní tekutinu uvnitř kontrolního objemu; Fp [N] síly od tlaku okolní tekutiny na povrchu kontrolního objemu; m• [kg·s-1] hmotnostní tok; g [m·s-2] gravitační zrychlení; ar [m·s-2] odstředivé zrychlení; aC [m·s-2] Coriolisovo zrychlení; p [Pa] tlak; m [kg] hmotnost. Odvození rovnice za předpokladu ustáleného proudění tekutiny kontrolním objemem je uvedeno v Příloze 11. |
 2: Síla působící na lopatku od proudu tekutiny Rychlosti i síly jsou vektorové veličiny, ale šipka nad symboly rychlostí v rychlostním trojúhleníku se obvykle neuvádí. F [N] výslednice sil působící na lopatku; W [m·s-1] relativní rychlost; U [m·s-1] obvodová rychlost; m• [kg·s-1] množství pracovní tekutiny protékající kontrolním objemem; s [m] rozteč lopatkové mříže. Odvození rovnice za předpokladu ustáleného proudění tekutiny kontrolním objemem je uvedeno v Příloze 12.
|
 3: Definice střední aerodynamické rychlosti v lopatkové mříži a její vztah k vektoru síly působící na elementární lopatku (délka lopatky dr) Wm [m·s-1] střední aerodynamická rychlost v lopatkové mříži; βm [°] úhel střední aerodynamické rychlosti; ε [°] úhel výslednice sil. Tato rovnice je odvozena pro elementární délku lopatek Δr a axiální lopatkové mříže v Příloze 13 a její platnost je omezena pro nestlačitelné proudění beze ztrát (izoentropické – index is). Rovnice pro výpočet rozložení energie ve stupni lopatkového strojePři návrhu rozložení energie, respektive její transformace ve stupni lopatkového stroje se vychází ze dvou směrů. Ve směru kolmém na meridánový směr se navrhuje rozložení Eulerovy práce, což je lokální hodnota vnitřní práce. V meridiánovém směru rozhoduje o vlastnostech stupně návrh stupně reakce, který popisuje rozdělení energetických transformací mezi stator a rotor stupně. Eulerova práce (Obvodová práce)Eulerova práce nebo obvodová práce je prací tekutiny předaná lopatkám v okolí vyšetřované proudnice, viz Obrázek 4(b). Rozdíl oproti vnitřní práci stupně wi je v tom, že vnitřní práce stupně je průměrná hodnota práce veškeré pracovní tekutiny, která protéká stupněm (včetně mezer) a lze ji určit z kompletní energetické bilance stupně, viz Obrázek 4(a). Takže část tekutiny vykoná větší Eulerovu práci než jiná, ale jejich průměr je wi. U reálných stupňů je nevětší Eulerova práce v jádru proudu (na středním průměru lopatek), kde jsou nejmenší ztráty. Naopak u okrajů lopatek, respektive v blízkosti jejich pat a špic, je Eulerova práce nejmenší kvůli vysokým ztrátám třením a vnitřní netěsností. Eulerovu práci lze stanovit z rychlostních trojúhleníků na vyšetřované prouděnici, viz Rovnice 4(c) – Eulerova turbínová rovnice. |
 4: Rozdíl mezi Eulerovou prací a vnitřní prací stupně wi [J·kg-1] vnitřní práce stupně; wE [J·kg-1] Eulerova práce v okolí vyšetřované proudnice; q [J·kg-1] sdílené teplo s okolím; ω [°] úhlová rychlost. BST-hranice stupně; S-statorová řada lopatek; R-rotorová řada lopatek, ψ-proudnice. Odvození Eulerovy turbínové rovnice pro předpoklad stacionárního proudění a bez vlivu tíhy je v Příloze 14.
Stupeň reakceStupeň reakce je definován jako poměr mezi změnou statické entalpie v rotorové řadě lopatek a změnou celkové entalpie stupně (Vzorec 5), či změnou statické entalpie stupně – zaleží na zvyklosti. Popisuje tedy rozložení energetické transformace mezi statorovou a rotorovou řadou lopatek stupně.  5: Definice stupně reakce |
|
(a) definice stupně reakce; (b) zjednodušený vzorec stupně reakce pro hydraulické stroje, kdy lze počítat s přibližnou rovností změn entalpie a tlakové energie (Δh≈Δp·ρ-1). Δhs [J·kg-1] rozdíl mezi celkovou entalpií na vtoku do stupně a výtoku ze stupně; ΔhR [J·kg-1] rozdíl mezi statickou entalpií na vtoku do rotorové řady lopatek a výtoku z rotorové řady lopatek; Δps [Pa] rozdíl mezi celkovým tlakem na vtoku do stupně a výtoku ze stupně; ΔpR [Pa] rozdíl mezi tlakem na vzoku do rotorové řady lopatek a výtoku z rotorové řady lopatek; ρ [kg·m-3] hustota.
 6: h-s diagramy stupňů lopatkových strojů vlevo-turbínové stupně; vpravo-stupně pracovních strojů. Tyto h-s diagramy jsou zkonstruovány za předpokladu adiabatického proudění bez vlivu tíhy. 1sw, 2sw označují celkový stav vzhledem k relativnímu pohybu na vtoku, respektive výtoku z rotoru. Podrobný popis konstrukce h-s diagramů je uveden v Příloze 15.
|
 7: Příklad lopatkových kanálů axiálního stupně turbíny se stupněm reakce 0,5 Při stejných rozdílech entalpií mezi statorem a rotorem jsou rychlostní trojúhleníky symetrické a i tvar lopatkových kanálů (A1≠A2). 1sw relativní celkový stav pracovní tekutiny na vstupu do rotoru.
Rovnice pro výpočet rozložení rychlosti při ideálním proudění v lopatkovém strojiRovnice ideálního proudění jsou odvozeny pro proudění ideálních tekutin bez vnitřních ztrát. Analytickým modelem proudění bez tření je nečastěji teorie potenciálního proudění a v případě proudění kolem osy jeho speciální případ osově symetrického potenciálního proudění. Tyto rovnice jsou doplněny o rovnice energetických bilancí a Eulerovu rovnici hydrodynamiky. I když se jedná o rovnice ideálního proudění, tak jsou klíčové pro základní návrh průtočných částí lopatkových strojů, predikci vlastností, analýzu vlivu tvaru průtočných částí na vnitřní ztráty stroje, pochopení příčin hávarií nebo problémového chodu lopatkových strojů. |
 8: Matematický zápis podmínek pro osově symetrické potenciální proudění θ [°] úhel průvodiče ve válcové soustavě souřadnic; C [m2·s-1] konstanta (například navrhovaná velikost součinu obvodové složky absolutní rychlosti Vθ na středním poloměru). Úprava rovnic je uvedena v Příloze 16.
|
ÚlohyÚloha 1:
Jakou silou je namáháno potrubí mezi přírubami od proudu kapaliny (viz obrázek)? Vnitřní průměr potrubí je 23 mm, výškový rozdíl mezi dolní a horní přírubou je 1,2 m, rozdíl statického tlaku v potrubí a venkovního (atmosférického tlaku) je 2 m vodního sloupce, rychlost proudění je 4 m·s-1, v potrubí proudí voda. Uvažujete proudění bez tření. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1.
 d [m] průměr potrubí; pat [Pa] atmosférický tlak; z [m] výšková souřadnice.
Výpočet je proveden v Příloze 1. Úloha 2:
Stanovte sílu a její složky od proudu tekutiny působící na lopatku radiálního ventilátoru. Ventilátorem protéká 88,8 kg·h-1 vzduchu, tlak p1 před oběžným kolem je atmosférický, rozdíl tlaků mezi vtokem a výtokem rotoru je nevýznamný a počet lopatek oběžného kola je 52. Další parametry jsou: r1=32,5 mm, r2=37,5 mm, V1=3,4 m·s-1, V2=9,34 m·s-1, α2=18,4°. Šířka kola je 30 mm. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 2.
 r [m] poloměr; α [°] úhel absolutní rychlosti. |
Výpočet je proveden v Příloze 2. Úloha 3:
Vypočítejte sílu působící na lopatky rotoru Kaplanovy turbíny od proudu vody a tlak za rotorem p2. Poloměr rotoru u špic lopatek je 1850 mm, u pat lopatek 985 mm, obvodová složka absolutní rychlosti na středním kvadratickém poloměru lopatek je 15,3 m·s-1, axiální rychlost 13 m·s-1, otáčky turbíny jsou 230,8 min-1. Nad turbínou je 56 m sloupec vody. Tvary rychlostních trojúhleníků na středním poloměru jsou na přiloženém obrázku. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 3.
 A [m2] průtočný průřez. Index h označuje patu lopatky, index m označuje střední kvadratický poloměr lopatky, index t označuje špici lopatky.
Výpočet je proveden v Příloze 3. Úloha 4:
Vypočítejte Eulerovu práci a Eulerovu účinnost na středním poloměru axiálního stupně parní turbíny a vnitřní práci a účinnost tohoto stupně. Stupeň byl navržen 1D výpočtem má tedy přímé lopatky. Meridánová rychlost je konstantní (V0a=V2a). Izoentropický spád stupně je 21,3 kJ·kg-1. Vypočítané celkové ztráty stupně jsou 6 kJ·kg-1. Parametry rychlostních trojúhleníků na středním poloměru: V1=W2=148,68 m·s-1, V0=V2=W1=63,249 m·s-1, U1=U2=102,1 m·s-1. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 4.
|
 (a) řez stupněm; (b) průběh Eulerovy práce po výšce lopatek; (c) energetická rovnováha stupně v h-s diagramu. h [J·kg-1] entalpie; s [J·kg-1·K-1] entropie; wis [J·kg-1] vnitřní práce stupně při izoentropické expanzi (expanze beze ztrát); wE,is [J·kg-1] Eulerova práce při proudění beze ztrát; Lw [J·kg-1] vnitřní ztráty stupně. Index s označuje celkový stav.
Výpočet je proveden v Příloze 4. Úloha 5:
Proveďte výpočet stupně reakce axiálního stupně parní turbíny. Znáte-li rychlostní trojúhelník. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 5.
Výpočet je proveden v Příloze 5. Úloha 6:
Stanovte stupeň reakce radiálního ventilátoru s dopředu zahnutými lopatkami, jestliže zvýšení celkového tlaku ve ventilátoru je 135 Pa, hustota pracovního plynu je 1,2 kg·m-3, obvodová rychlost na výtoku z rotoru je 10 m·s-1 a obvodová rychlost na vtoku do rotoru 8,7 m·s-1. Lopatkové kanály rotoru jsou navrženy pro rovnost relativních rychlostí (W1=W2). Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 6.
 |
Výpočet je proveden v Příloze 6. Úloha 7:
Vypočítejte stupeň reakce Francisovy turbíny na jejím střední poloměru. Poloměr rotoru na vtoku je 1 m. Absolutní rychlost před rotorem je 35 m·s-1, za rotorem 12 m·s-1 (nemá obvodovou složku). Otáčky turbíny jsou 375 min-1. Úhel absolutní rychlosti je 20°. Výškový rozdíl mezi vtokem a výtokem z rotoru je 0,8 m. Hustota vody je 1000 kg·m-3. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 7.
Výpočet je proveden v Příloze 7. Úloha 8:
Vypočítejte parametry rychlostního trojúhleníku, tlak a stupeň reakce u paty, středním kvadratickém poloměru a špici lopatky Kaplanovy turbíny. Požadovaná Eulerova práce je 548 J·kg-1. Rozměry rotoru, otáčky, axiální rychlost na středním kvadratickém poloměru a tlak za rotorem jsou stejné jako v Úloze 3. Absolutní rychlost na výstupu z rotoru má pouze axiální směr. Stanovte také gradient tlaku před a za rotorem turbíny způsobený odstředivým zrychlením. Uvažujte potenciální proudění ideální kapaliny. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 8.
 (a) očekávaný gradient tlaku před rotorem; (b) změny absolutních a relativních rychlostí na vyšetřovaných poloměrech; (c) vliv změny relativních rychlostí na tvar lopatkového kanálu, respektive zkroucení lopatky; (d) očekávaný průběh obvodové složky absolutní rychlosti před rotorem; (e) očekávaný průběh tlaku před rotorem; (f) očekávaný průběh stupně reakce po délce lopatek. β [°] úhel relativní rychlosti. |
Výpočet je proveden v Příloze 8. Úloha 9:
Účelem spirálních hrdel radiálních strojů je odvod nebo přívod pracovní tekutiny od/k lopatkové části. Proudění v takovém hrdle má spirální dráhu. Na obrázku je řez radiálního ventilátoru s dozadu zahnutými lopatkami a spirálním hrdlem – navrhněte rozměry tohoto spirálního hrdla, jestliže mezi ním a rotorem je bezlopatkový difuzor. Stanovte tlak na výstupu z bezlopatkového difuzoru (mezi poloměry r2 a r3). Dokažte, že při proudění nestlačitelné tekutiny radiálním kanálem konstantní šířky b je spirální dráha logaritmickou spirálou. Diskutujte vliv vnitřního tření v tekutině na tvar spirální dráhy. Jaké je rozložení rychlosti a tlaku na výstupu ze spirálního hrdla? Uvažujte nestlačitelné potenciální proudění. Diskutujte vliv šířky hrdla na poloměr hrdla. Parametry ventilátoru jsou: R=0,65; r3=215 mm; r2=170 mm; r1=118,5 mm; b2=101,5 mm; b1=120 mm; N=1360 min-1. Zvýšení celkového tlaku ve ventilátoru je 500 Pa. Průtok vzduchu ventilátorem je 1200 m3·h-1 a jeho celkový tlak na sání je atmosférický při hustotě 1,2 kg·m-3. Řešení úlohy a další závěry jsou uvedeny v Příloze 9.
 (a) rychlostní trojúhleníky; (b) průběh rychlosti na výstupu ze spirální skříně; (c) průběh tlaku na výstupu ze spirální skříně. Ψ-spírálová dráha absolutní rychlosti. |
Výpočet je proveden v Příloze 9. Úloha 10:
Navrhněte výstupní poloměr bezlopatkového statoru radiálního turbokompresoru, který je nakreslený na obrázku. Parametry stupně jsou: V2θ=300 m·s-1, V2r=90 m·s-1, r2=33 mm, p2=200 kPa, t2=82,9 °C. Zvýšení tlaku ve statoru je 80 kPa. Pracovním plynem je vzduch. Zjistěte také, zda se mění úhel mezi absolutní rychlostí v bezlopatkovém statoru a její obvodovou složku (mezi poloměry r2 a r3). Uvažujte stlačitelné potenciální proudění. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 10.
 (a) sestava rotoru-bezlopatkového statoru a sacího a výstupního hrdla; (b) řez bezlopatkovým statorem; (c) absolutní rychlost na vstupu a výstupu z bezlopatkového statoru.
Výpočet je proveden v Příloze 10. OdkazyŠKORPÍK, Jiří, 2024, Technická termomechanika, engineering-sciences.education, Brno, engineering-sciences.education/technicka-termomechanika.html.
ŠKORPÍK, Jiří, 2023, Technická matematika, engineering-sciences.education, Brno, engineering-sciences.education/technicka-matematika.html.
ŠKORPÍK, Jiří, 2023b, Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy, fluid-dynamics.education, Brno, fluid-dynamics.education/vnitrni-treni-tekutiny-a-vyvoj-mezni-vrstvy.html.
ŠKORPÍK, Jiří, 2023c, Proudění plynů a par tryskami, fluid-dynamics.education, Brno, fluid-dynamics.education/proudeni-plynu-a-par-tryskami.html.
ŠKORPÍK, Jiří, 2023d, Proudění plynů a par difuzory, fluid-dynamics.education, Brno, fluid-dynamics.education/proudeni-plynu-a-par-difuzory.html.
©Jiří Škorpík, LICENCE
|