Aerodynamika profilových mříží

Škorpík, Jiří

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.3

Základní pojmy aerodynamiky profilových mříží

Aerodynamika osamocených profilů

Odpor

Vztlak

Aerodynamika profilové mříže vychází z definic aerodynamických veličin používáných při popisu aerodynamiky osamocených profilů [Škorpík, 2022]. To znamená, že u profilu zařazeného do profilové mříže lze také rozlišovat odpor a vztlak, které lze vypočítat podle stejných vzorců jako v případě osamocených profilů, s tím rozdílem, že místo nátokové rychlosti se vychází ze střední aerodynamické rychlosti v mříži, takže odpor je ve směru této střední rychlosti a vztlak kolmý na tuto rychlost, viz Rovnice 1.

1: Vzorce pro odpor a vztlak lopatky v lopatkové mříži

(b) řez rovinnou lopatkovou mříží; (b) vzorce pro výpočet odporu a vztlaku přímé lopatky v rovinné lopatkové mříži; (c) vztahy mezi rychlostmi a silami působící na přímou lopatku. D [N] odpor; L [N] vztlak; F [N] výsledná síla působící na lopatku; ρ [kg·m^-3] hustota pracovní tekutiny; W_m [m·s^-1] střední aerodynamická rychlost v mříži; c [m] tětiva profilu; γ [°] úhel nastavení profilu v mříži; b [m] šířka lopatkové mříže; l [m] délka přímé lopatky; C_D, C_L [1] součinitel odporu a vztlaku profilu v profilové mříži; s [m] rozteč. θ, a-označení os v soustavě souřadnic.

Součinitel vztlaku

Součinitel odporu

Aerodynamický tunel

Japikse,1997

Aerodynamické součinitelé C profilů v mříži jsou měřeny v aerodynamických tunelech rovinných lopatkových mříží, viz Obrázek 2 pro různou kombinaci rychlostí a nátokových úhlů. Lopatková mříž v aerodynamické tunelu je tvořena několika (5 až 7) přímými lopatkami vloženými do průtokového kanálu šikmo tak, aby proud pracovní tekutiny odpovídal směru relativní rychlosti ve skutečné lopatkové mříži. Vstupní a výstupní průřez tunelu odpovídá průtočným průřezům testované lopatkové mříže. Konstrukce aerodynamického tunelu kompresorových lopatkových mříží jsou uvedeny např. v [Japikse, 1997, s. 11-7] a pro turbínové lopatkové mříže [Japikse, 1997, s. 6-22].

2: Aerodynamický tunel pro měření lopatkových mříží

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.4

Kanál aerodynamického tunelu na výtoku je tvořen pohyblivými stěnami, kterými se ovlivňuje rychlostní pole na okrajích mříže a umožňuje naklápění vstupních a výstupních kanálů pro změnu nátokového úhlu. W_{1, 2} [m·s^-1] rychlost před a za mříži; p_{1, 2} [Pa] tlak před a za mříži.

Aerodynamický tunel

Zkroucené lopatky

Machovo číslo

Používají se i aerodynamické tunely pro měření zkroucených lopatek, kde se provádí měření i po délce lopatek. Dokonce se používají i aerodynamické tunely, ve kterých lze měřit aerodynamiku celého stupně při rotaci. Konstrukce takového zkušebního zařízení je uvedena např. v [Japikse, 1997, s. 6-23]. Poslední speciální skupinou aerodynamických tunelů jsou nadzvukové aerodynamické tunely, ve kterých se zkoumá i vliv efektů spojených se stlačitelností a s nadzvukovými rychlostmi, více v článku Machovo číslo a efekty při proudění vysokými rychlostmi [Škorpík, 2023c].

Součinitel odporu

Zakřivení proudu

Odtržení proudění

Nátokový úhel

Aerodynamická charakteristika profilu

Naměřená aerodynamická data jsou publikována v grafické podobě, viz Obrázek 3. Na obrázku je jasně patrné, že součinitel odporu C_D má nějaké minimum a zakřivení proudu Δβ nějaké maximum. To je dáno tím, že stabilní proudění lopatkovou mříží je jen v určitém intervalu nátokových úhlů i. Mimo tento interval docházi k odtržení proudění od profilu – v případě velkého nátokového úhlu na sací straně profilů – nebo od určité záporné hodnoty nátokového úhlu na přetlakové straně profilů.

3: Aerodynamická charakteristika profilu v lopatkové mříži

Δβ [°] úhel zakřivení proudu; i [°] nátokový úhel nátokové rychlosti W₁ – index _opt označuje optimální nátokový úhel, kdy lopatky dosahují maximální hodnoty vztlaku vzhledem k hodnotě odporu, index _n označuje navržený jmenovitý nátokový úhel – jedná se o takový úhel, kterému odpovídá zakřivení proudu přibližně 0,8·Δβ_max – zde ještě má lopatková mříž dostatečné rezervy pro změny provozních parametrů, anichž by docházelo k odtrhávání proudu od profilu. a-stabilní oblast proudění bez odtrhávání mezní vrstvy od profilu; b-oblast odtržení na sací straně lopatky; c-oblast odtrhávání na přetlakové straně lopatky.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.5

Lopatkový kanál

Howell, A. R.

Carter, A. D. S.

Lieblein, S.

Japikse,1997

Lopatkové kánaly v lopatkových strojích svůj tvar a velikost po délce mění, tak jak se mění profil a rozteč lopatek, které tyto kanály vymezují. Zejména u zkroucených lopatek dochází velkým změnám nejen geometrických ale i aerodynamickým parametrům proudění, takže pro aerodynamické výpočty je nutné mít k dispozici velké množství měření. Měření aerodynamických veličin pro kombinaci tolika proměnných je časově i finančně nákladné a proto byly vyvinuty výpočtové metody predikce změny aerodynamických veličin profilů při změně některých parametrů, např. metoda Howelova, Carterova, Liebleinova...[Japikse, 1997, s. 5-14]. Tyto metody mají užitek především při snaze snížit potřebné množství měření při drobných změnách na profilu.

V článku je následně popsáno jak z měření určit jednotlivá aerodynamická data a také jak využít aerodynamickou charakteristiku profilu, při návrhu profilové mříže lopatkového stroje.

Tlaková ztráta profilové mříže

Při proudění jakýmkoli kanálem lze indikovat tlakovou ztrátu, která vzniká zejména vnitřním tření pracovní tekutiny. V případě lopatkových kanálů, respektive lopatkových mříží je tlaková ztráta L_p definována jako rozdíl, o který se musí tlak za mříží p₂ snížit, aby rychlost za mříží W₂ byla stejná jako rychlost W_2is při proudění mříží beze ztrát při výstupním tlaku p_2is, viz Rovnice 4. Přičemž stav před mříží je předpokládán stejný pro oba případy.

4: Tlaková ztráta profilové mříže

L_p [Pa] tlaková ztráta; p_2is [Pa] tlak za mříží při proudění beze ztrát; p₂ [Pa] tlak za mříží při dosažení stejných rychlostí před a za mříží W_{1, 2}.

Profilová ztráta profilové mříže

Profilovými ztrátami profilové mříže se rozumí nežádoucí transformace energie (disipace energie) v pracovní tekutině, které vnikají při průtoku profilovou mříží. Mezi profilové ztráty patří zejména ztráty vnitřním třením, ztráty při odtržení proudění od profilu, ztráty při víření za odtokovou hranou a ztráty v rázové vlně při proudění vysokými rychlostmi. Suma těchto ztrát vytváří celkovou profilovou ztrátu mříže.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.6

Ztráta vnitřním třením

Laminární proudění

Turbulentní proudění

Ztráty vnitřním třením v mezní vrstvě jsou nevyhnutelné kvůli vnitřnímu tření pracovní tekutiny. Charakteristickým rysem lopatkových kanálů je jejich malý rozměr a vysoká rychlost, takže mezní vrstva se obvykle plně nevyvine a zůstává laminární, přičemž v jádru proudu mohou být turbulence, pokud před lopatkových kanálem bylo vyvinuté turbuletní proudění. Více o přechodech proudění mezi turbulentním laminárním v článku Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy [Škorpík, 2023].

Reynoldsovo číslo

Osamocený profil

K predikci druhu mezní vrstvy v okolí profilu je důležité tzv. Reynoldsovo číslo, které je mimo jiné přímo úměrné délce tětivy c, takže pro stejné rychlosti mají profily s malou délkou tětivy malou hodnotu Reynoldsova čísla a naopak. To je také důvod proč se uvádějí aerodynamické součinitelé osamocených profilů pro velká Reynoldosva čísla – očekává se jejich aplikace jako profily křídel letadel, kde je velmi velká délka tětivy, ale například u lopatek lopatkových strojů je řádově měnší.

Drsnost povrchu

Tření v mezní vrstvě je ovliněno i kvalitou povrchu (drsnost) lopatky. Drsnost povrchu lopatky nelze příliš ovlivnit, protože pracovní tekutiny lopatkových strojů obvykle obsahují nečistoty, byť v malé koncentraci, a ty reagují s povrchem lopatky (ulpívají na povrchu nebo ho poškozují) a určují jeho drsnost především při delším provozu, viz Obrázek 5.

5: Změna drsnosti obtékaného povrchu v čase

(a) na počátku vysoká drsnost; (b) na počátku nízká drsnost. Ra [μm] drsnost povrchu; t [h] doba provozu. Při výrobě je nutné zvážit, jestli se vyplatí výroba velmi hladké lopatky, když se po čase její povrch stane drsnější.

Ztráta odtržením proudění

Mechanismus odtržení proudění od profilu je už popsán v článku Aerodynamika profilů [Škorpík, 2022]. Kromě energetické ztráty, následkem odtržení může být kolaps průtoku lopatkovou mříží a kmitání lopatek.

Difuzorová mříž

U difuzorových profilových mříží dochází k odtržení vždy, viz také článek Proudění plynů a par difuzory [Škorpík, 2023b]. Rozsah odtržení lze ovlivnit zejména tvarem profilu a nátokovým úhlem, respektive vhodným rozvržením změn tlaku podél profilu, viz Úloha 1.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.7

Ztráta vířením za odtokovou hranou

Odtokové hrany lopatek nejsou ostré především z pevnostních důvodů, takže mezi proudy od sací a přetlakové stranách lopatek je mezera, ve které vznikají drobné víry kvůli odlišným rychlostí těchto proudů, viz Obrázek 6. Přičemž víry jsou typickým jevem zvyšující entropii tekutiny.

6: Vířením za odtokovou hranou

Ztráta v rázových vlnách

Kritické Machovo číslo

Rychlost proudění se podél profilu mění, takže i když před mříží nedosahuje proudění rychlosti zvuku, tak v mříži této rychlosti dosáhnout může nebo ji dokonce překonat při určité nátokové rychlosti, kterou označujeme jako kritického Machovo číslo profilové mříže. Při následném poklesu rychlosti zpět na podzvukovou může, za jistých podmínek, vzniknout rázová vlna. Podrobnosti o proudění v profilových mříží vysokou rychlostí jsou uvedeny v kapitole Aerodynamika profilových mříží ve stlačitelném prostředí v [Škorpík, 2023c].

Celková profilová ztráta

Celkovou profilovou ztrátu mříže lze vyjádřit i jako entalpii, o kterou se musí snížit izoentropický rozdíl entalpií za mříži, aby rychlost na výstupu byla stejná jako v případě proudění beze ztrát, viz Obrázek 7.

7: Profilová ztráta v lopatkové mříži

(a) situace v konfuzorové mříži; (b) situace v difuzorové mříži. h [J·kg^-1] entalpie; s [J·kg^-1·K^-1] entropie; p_s [Pa] celkový tlak; L_h [J·kg^-1] profilové ztráty. Index _is označuje změny stavu při proudění beze ztrát.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.8

Poměrná profilová ztráta mříže

K vyjádření aerodynamické kvality profilové mříže se používá veličina zvaná poměrná profilová ztráta profilové mříže ξ_h, která je definována jako poměr mezi profilovou ztrátou mříže a celkovou disponibilní entalpii pracovní tekutiny při průtoku mříží, viz Vzorec 8. Hodnoty poměrné profilové ztráty profilových mříží nepřekračují jednotky procent.

8: Poměrná profilová ztráta lopatkové mříže

(a) konfuzorový lopatkový, nebo rovnotlakový lopatkový kanál; (b) difuzorový lopatkový kanál. ξ_h [1] poměrná profilová ztráta profilové mříže.

Ztráty lopatkových mříží

V lopatkových mříží nevznikají pouze profilové ztráty, ale také ztráty vznikající při pohybu (rotaci) mříží, konečnou délkou lopatek – ztráty vznikající u okrajů lopatek. Souhrnně se ztráty na reálných lopatkových mříží nazývají ztráty lopatkových mříží.

Výpočet sil působící na lopatku v rovinné lopatkové mříži

Síla na lopatku

Ideální proudění vs. proudění reálné tekutiny

Při identifikaci jednotlivých složek sil působící na lopatku v rovinné lopatkové mříže se vychází z toho, že při reálném proudění se změní tlak (klesne) na výstupu z mříže, tak aby rychlosti a rychlostní trojúhelníky byly stejnéo jako při proudění beze ztrát. To znamená, že podle věty o změně hybnosti tekutiny budou stejné i složky síly působící ve směru θ (tzv. obvodový směr), protože ty jsou funkcí pouze změn složek rychlostí v tomto směru, a naopak se zvýší složky sil působící ve směru a (tzv. axiální směr). Z těchto předpokladů lze zakreslit jednotlivé složky síly působící na lopatku v rovinné lopatkové mříži, tak jako na Obrázku 9.

9: Rozklad sil působící na přímou lopatku určité délky v rovinné lopatkové mříži

(a) konfuzorová mříž; (b) difuzorová mříž. β_m [°] úhel střední aerodynamické rychlosti v mříži; F [N] síla působící v daném směru; ε‾ [°] klouzací úhel.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.9

Součinitel vztlaku

Součinitel odporu

Profilová ztráta

Tlaková ztráta

Rovnice pro výpočet součinitele vztlaku a odporu a profilovou ztrátu profilové mříže (Rovnice 10) lze odvodit na základě předchozího obrázku a z tlakové ztráty. Tyto rovnice lze použít i obráceně k výpočtu tlakové ztráty na základě aerodynamických veličin. Přičemž Rovnice 10d pro součinitel vztlaku pro případ proudění beze ztrát C_L_,is je odvozena z požadavku na zakřivení proudu a Rovnice 10b pro C_L_,is je odvozena ze skutečných hodnot aerodynamických součinitelů–pravé strany těchto rovnic se u dobře navržené profilové mříže rovnají.

10: Rovnice pro výpočet aerodynamických veličin profilové mříže

C_L_,is [1] součinitel vztlaku pro případ proudění bez profilových ztrát; σ [1] hustota lopatkové mříže. Orientace kótování úhlů nátokové a výtokové rychlosti β₁, β₂ je stejná jako orientace úhlů β_m na Obrázku 9. Odvození rovnic je v Příloze 5.

Přenositelnost aerodynamiky rovinné mříže na aerodynamiku diagonálních a radiální lopatkových mříží

Transformační rovnice

Nožička, 1967

Japikse,1997

V Úloze 2 je předvedená aplikace aerodynamických dat získaných při měření na rovinné lopatkové mříži na axiální lopatkovou mříž, ale tato data mohou být aplikována i na radiální a diagonální lopatové mříže. V takovém případě se tvar lopatek nerovinných mříží musí transformovat bod po bodu na rovinné mříže. Na Obrázku 11 je příklad transformace tvaru kruhové lopatkové mříže na rovinnou pomocí transformačních rovnic. Podobným způsobem lze transformovat i diagonální lopatkovou mříž [Nožička, 1967, s. 84], [Japikse, 1997, s. 7-24]. Stejně tak se musí transformovat tlakové a rychlostní pole naměřené na rovinné lopatkové mříži zpět do kruhových souřadnic postupem odvozeným v [Nožička, 1967, s. 84]. Tyto tranformační rovnice jsou odvozeny za zjednodušujícího předpokladu potenciálního proudění.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.10

11: Transformační rovnice tvaru kruhové profilové mříže na rovinnou

r [m] poloměr lopatkové mříže.

Transformace aerodynamických veličin osamocených profilů na aerodynamické veličiny profilových mříží

Aerodynamika osamoceného profilu

Aerodynamická interference

Abbott, 1959

Při návrhu profilových mříží s málo prohnutými profily levných kusových strojů, kde si nelze dovolit aerodynamický výzkum profilové mříže, lze využít dostupné osamocené profily k sestavení profilové mříže. Výhodou je, že jsou snadno dostupná aerodynmická data z měření velkého množství osamocených profilů, viz například [Abbott and Doenhoff, 1959]. Nevýhodou je, že lze očekávat, že aerodynamické součinitele osamoceného profilu budou mít jinou hodnotu, než tyto součinitele stejného profilu, ale zařazeného v profilové mříži. To je dáno jednak aerodynamickou interferencí sousedících profilů a jednak rozdílnou definicí aerodynamických součinitelů – v případě osamocených profilů jsou vztažena k nátokové rychlosti, v případě profilových mříží ke střední aerodynamické rychlosti v mříži.

Výsledky měření v tomto středisku se využívají v aerodynamice dodnes. Proto značení profilů lopatek začínají čtyřmi ikonickými písmeny NACA. https://t.co/UCltat7kge
— Jiří Škorpík (@jiri_skorpik) November 10, 2022

Součinitel vztlaku

Weiningův součinitel

Lakshminar., 1996

Wang and Kruyt, 2022

Změnu součinitele vztlaku profilu po vložení do profilové mříže lze přibližně stanovit pomocí Weiningova součinitele. Weiningův součitel je definován jako podíl součinitele vztlaku profilové mříže složené z plochých desek C_L a součinitele vztlaku osamocené ploché desky C_L_isolated, který je označován písmenem K, viz Vzorec 12 [Lakshminarayana, 1996, s. 212]. Tento poměr je odvozený pro ploché desky, ale pro přibližnou změnu aerodynamických součinitelů málo prohnutých profilů se běžně používá při návrhu profilových mříží [Wang and Kruyt, 2022].

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.11

12: Weiningův součinitel

C_L_isolated [1] součinitel vztlaku osamocené desky. Vzorec má platnost přibližně do hodnoty 1/σ= 0,7, od této hodnoty lze vycházet z grafu uvedeného v [Lakshminarayana, 1996, s. 212]. Od hodnoty 1/σ=2,5 je součinitel K blízký hodnotě 1.

Součinitel vztlaku profilu měřený na osamoceném profilu se v lopatkové mříži vždy zmenší. Dobře to je patrné u dvouplošníků. Kvůli interferencí křídel nad sebou je celkový vztlak na dvouplošníku nižší, než by činil součet vztlaků samotných křídel až o několik desítek procent. pic.twitter.com/qth8pY67YD
— Jiří Škorpík (@jiri_skorpik) December 7, 2022

Větrné turbíny

Vrtule

Mimo Weinigova součinitele existují i jiné způsoby jak určit součinitel vztlaku profilu v mříži, jestliže jsou známy jeho parametry při jeho měření jako osamoceného profilu. Tyto způsoby se používají při výpočtu lopatkových mříží větrných turbín a vrtulí, více v článku Aerodynamika větrných turbín.

Součinitel odporu

Jestliže nebude docházet k odtrhávání proudu od profilu, lze očekávat, že sounitel odporu profilu v mříži C_D bude velmi blízký hodnotě, která by byla naměřena v případě, že by byl profil měřen jako osamocený, a proto se nijak nepřepočítává. Takže aerodynamický výpočet takto navržené profilové mříže lze začít tak, že z hodnot součinitele vztlaku a odporu profilu lze podle Rovnice 10 pro součinitel vztlaku C_L a navržený úhel střední aerodynamické rychlosti β_m vypočítat součinitel vztlaku C_L_,is atd., viz Úloha 4.

Základní profil

V případě profilů s vytvořených prohnutím základního profilu (obvykle profily s prohnutím větším než u osamocených profilů) lze při výpočtu sil na lopatku vycházet z vlastností výchozího základního profilu. Výpočet vychází z předpokladu, že po prohnutí se příliš nezmění součinitel odporu C_D profilu, takže na základě výpočtu odporu profilu v mříží D lze stanovit i další hodnoty sil podle Obrázku 9.

Úlohy

Úloha 1:

Popište, která z uvedených profilových mříží (viz obrázek) bude pravděpodobně citlivější na održení proudu od profilu. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.12

Úloha 2:

Vypočítejte tlakovou a poměrnou profilovou ztrátu profilové mříže rotoru axiálního ventilátoru. Zvýšení tlaku v rotorové řadě lopatek je 500 Pa, relativní rychlost vzduchu na vstupu do rotorové řady lopatek je 46,7 m·s^-1, na výstupu 35,4 m·s^-1. Hustota pracovního plynu je 1,2 kg·m^-3. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 2.

Rychlostní trojúhelník rotoru axiálního ventilátoru

U [m·s^-1] obvodová rychlost.

§1

zadání:

Δp; W₁; W₂; ρ

§3

výpočet:

ξ_h

§2

výpočet:

L_h; L_p

Postup řešení Úlohy 2.

Popisek symbolů je v Příloze 2.

Úloha 3:

Vypočítejte součinitel vztlaku a odporu profilu lopatek oběžného kola Kaplanovy turbíny z Úlohy 8 v článku Základní rovnice lopatkových strojů. Výpočet proveďte na středním poloměru lopatky. Počet lopatek je 6, délka tětivy lopatek na středním poloměru je 1,8 m a poměrná profilová ztráty mříže na vyšetřovaném poloměru je 2,5 %. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 3.

§1

zadání:

Z; c; ξ_h

§4

výpočet:

s; σ

§2

odečet:

W₂; W₁; β₁; β₂; r_m

§5

výpočet:

L_h; C_D; C_L,is; C_L

§3

výpočet:

W_1θ; W_2θ; W_θm; W_m; β_m

Postup řešení Úlohy 3.

Popisek symbolů je v Příloze 3.

AERODYNAMIKA PROFILOVÝCH MŘÍŽÍ

4.13

Úloha 4:

Navrhněte parametry nátokové a výtokové rychlosti a zakřivení proudu a rozteč difuzorové profilové mříže sestavené z osamocených profilů typu NACA 65-410, jestliže je tato profilová mříž určena pro rotor axiálního ventilátoru s požadovaným zvýšením tlaku 500 Pa a nachází se na středním kvadratickém poloměru lopatek. Hustota pracovního plynu je 1,2 kg·m^-3, střední kvadratický poloměr lopatek 1050 mm a otáčky ventilátoru jsou 325 min^-1. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 4.

r_m [m] střední poloměr lopatek.

§1

zadání

Δp; W_a; ρ; r_m; N

§9

porovnání:

L_h §4 vs. §8

§2

odvození:

rov. pro σ

§10

výpočet:

γ; C_L

§3

výpočet:

U; W₁; β₁

§11

odečet:

§4

odhad:

L_h

§12

výpočet:

c, s, Z

§5

výpočet:

W₂, β₂, σ

zaokrouhlení:

§6

návrh:

výpočet:

s, σ, b

§7

odečet:

C_Lisolated, i_isolated=i_m, C_Disolated≈C_D

§13

kontrola:

C_L,is

§8

výpočet:

W_m, β_m, L_h

Postup řešení Úlohy 4.

Popisek symbolů je v Příloze 4.

Odkazy

ŠKORPÍK, Jiří, 2022, Aerodynamika profilů, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. https://fluid-dynamics.education/aerodynamika-profilu.html.

ŠKORPÍK, Jiří, 2023, Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. https://fluid-dynamics.education/vnitrni-treni-tekutiny-a-vyvoj-mezni-vrstvy.html.

ŠKORPÍK, Jiří, 2023b, Proudění plynů a par difuzory, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. https://fluid-dynamics.education/proudeni-plynu-a-par-difuzory.html.

ŠKORPÍK, Jiří, 2023c, Machovo číslo a efekty při proudění vysokými rychlostmi, Transformační technologie, Brno, [on-line], ISSN 1804-8293. https://fluid-dynamics.education/machovo-cislo-a-efekty-pri-proudeni-vysokymi-rychlostmi.html.

ABBOTT, Ira, DOENHOFF, Albert, 1959, Theory of wing sections, including a summary of airfoil data, Dover publications, inc., New York, ISBN-10:0-486-60586-8.

JAPIKSE, David, 1997, Introduction to turbomachinery, Oxford University Press, Oxford, ISBN 0-933283-10-5.

LAKSHMINARAYANA, Budugur, 1996, Fluid Dynamics and Heat Transfer of Turbomachinery, John Wiley & Sons, Toronto, ISBN 0-471-85546-4.

NOŽIČKA, Jiří, 1967, Analogové metody v proudění, Academia, Praha.

WANG, Jie, KRUYT, Niels, P., 2022, "Design for High Efficiency of Low-Pressure Axial Fans With Small Hub-to-Tip Diameter Ratio by the Vortex Distribution Method" J. Fluids Eng., 144(8), https://doi.org/10.1115/1.4053555.